Різниця між арифметичною послідовністю та геометричною послідовністю

Арифметична послідовність проти геометричної послідовності
 

Вивчення закономірностей чисел та їх поведінки є важливим дослідженням у галузі математики. Часто ці закономірності можна побачити в природі і допомагають нам пояснити їх поведінку з наукової точки зору. Арифметичні послідовності та геометричні послідовності - це дві основні закономірності, які зустрічаються в числах і часто зустрічаються в природних явищах.

Послідовність - це набір упорядкованих чисел. Кількість елементів у послідовності може бути як кінцевим, так і нескінченним.

Детальніше про арифметичну послідовність (арифметична прогресія)

Арифметична послідовність визначається як послідовність чисел з постійною різницею між кожними послідовними членами. Він також відомий як арифметична прогресія.

Арифметична секвенція ⇒ a₁, а₂, а_3, а₄,…, А_н ; де₂ = а₁ + д, а₃ = а₂ + d тощо.

Якщо початковим терміном є а₁ і загальна різниця d, то n^го термін послідовності задається;

а_н = а₁ + (п-1) д

Займаючи вищенаведений результат далі, п^го термін можна подати також як;

а_н = а_м + (н-м) д, де_м - випадковий додаток у послідовності, такий, що n> m.

Набір парних чисел і набір непарних чисел - найпростіші приклади арифметичних послідовностей, де кожна послідовність має загальну різницю (d) 2.

Кількість доданків у послідовності може бути нескінченною або кінцевою. У нескінченному випадку (n → ∞) послідовність тяжіє до нескінченності залежно від загальної різниці (a_н → ± ∞). Якщо спільна різниця позитивна (d> 0), послідовність тяжіє до позитивної нескінченності, а якщо спільна різниця - негативна (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

Сума доданків у арифметичній послідовності відома як арифметичний ряд: S_н= а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + ⋯ + a_н = ∑_{i = 1 → n} а_я; і S_н = (п / 2) (а₁ + а_н) = (п / 2) [2а₁ + (n-1) d] дає значення ряду (S_n).

Детальніше про геометричну послідовність (геометрична прогресія)

Геометрична послідовність визначається як послідовність, в якій коефіцієнт будь-яких двох послідовних доданків є постійною. Це також відоме як геометрична прогресія.

Геометрична послідовність ⇒ a₁, а₂, а₃, а₄,…, А_н; де₂/ а₁ = r, a₃/ а₂ = r тощо, де r - дійсне число.

Легше зобразити геометричну послідовність, використовуючи загальне співвідношення (r) та початковий член (a). Звідси геометрична послідовність ⇒ a₁, а₁г, а₁r², а₁r³,…, А₁r^n-1.

Загальна форма російського^го терміни, задані а_н = а₁r^n-1. (Втрата індексу початкового терміну ⇒ a_н = ар^n-1)

Геометрична послідовність також може бути кінцевою або нескінченною. Якщо кількість доданків кінцева, послідовність кажуть, що кінцева. І якщо доданки нескінченні, послідовність може бути нескінченною або кінцевою залежно від відношення r. Загальне співвідношення впливає на багато властивостей у геометричних послідовностях. 

r> о	0 < r < +1	Послідовність конвергується - експоненціальний розпад, тобто aн → 0, n → ∞
	r = 1	Постійна послідовність, тобто ан = постійна
	r> 1	Послідовність розходиться - експоненціальне зростання, т. Ен → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	Послідовність коливається, але сходиться
	r = 1	Послідовність є змінною і постійною, тобто aн = ± константа
	r < -1	Послідовність чергується і розходиться. тобто ан → ± ∞, n → ∞
r = 0	Послідовність - це рядок нулів

Н.Б .: У всіх вищевикладених випадках a₁ > 0; якщо₁ < 0, the signs related to a_н буде перевернуто.

Інтервал часу між відскаками кулі слідує за геометричною послідовністю в ідеальній моделі, і це збіжна послідовність.

Сума доданків геометричної послідовності відома як геометричний ряд; S_н = ар + ар² + ар³ + ⋯ + ар^н = ∑_{i = 1 → n} арⁱ. Суму геометричного ряду можна обчислити, використовуючи наступну формулу.

S_н = a (1-r^н ) / (1-р); де a - початковий член, а r - відношення.

Якщо відношення, r ≤ 1, ряд сходиться. Для нескінченного ряду значення збіжності задається S_н = a / (1-r) 

Яка різниця між арифметичною та геометричною послідовністю / прогресією?

• У арифметичній послідовності будь-які два послідовні члени мають спільну різницю (d), тоді як у геометричній послідовності будь-які два послідовні доданки мають постійний коефіцієнт (r).

• У арифметичній послідовності зміна доданків лінійна, тобто може бути проведена пряма лінія, що проходить через усі точки. У геометричному ряду варіація є експоненціальною; або зростає, або занепадає на основі загального співвідношення.

• Усі нескінченні арифметичні послідовності розходяться, тоді як нескінченні геометричні ряди можуть бути або розбіжними, або конвергентними.

• Геометричний ряд може показувати коливання, якщо відношення r негативне, тоді як арифметичний ряд не відображає коливання