Різниця між серіями Фур'є та перетворенням Фур'є

Серія Фур'є проти трансформації Фур'є

Серія Фур'є розкладає періодичну функцію на суму синусів і косинусів з різними частотами і амплітудами. Серія Фур'є - галузь аналізу Фур'є, і її ввів Джозеф Фур'є. Перетворення Фур'є - це математична операція, яка розбиває сигнал на його складові частоти. Початковий сигнал, який змінювався з часом, називається поданням часової області сигналу. Перетворення Фур'є називається частотним представленням сигналу, оскільки воно залежить від частоти. Як представлення частотного домену сигналу, так і процес, що використовується для перетворення цього сигналу в частотну область, називаються перетворенням Фур'є.

Що таке серія Фур'є?

Як згадувалося раніше, ряд Фур'є - це розширення періодичної функції з використанням нескінченної суми синусів і косинусів. Серія Фур'є спочатку була розроблена при вирішенні рівнянь теплоти, але пізніше з'ясувалося, що та сама методика може бути використана для вирішення великого набору математичних задач, зокрема задач, що передбачають лінійні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами. Зараз серія Фур'є має застосування у великій кількості областей, включаючи електротехніку, вібраційний аналіз, акустику, оптику, обробку сигналів, обробку зображень, квантову механіку та економетрику. Серії Фур'є використовують ортогональні зв'язки функцій синуса і косинуса. Розрахунок і вивчення рядів Фур'є відомий як гармонічний аналіз і дуже корисний при роботі з довільними періодичними функціями, оскільки дозволяє розбити функцію на прості умови, які можна використовувати для отримання рішення вихідної задачі.

Що таке перетворення Фур'є?

Перетворення Фур'є визначає залежність між сигналом у часовій області та його поданням у частотній області. Перетворення Фур'є розкладає функцію на коливальні функції. Оскільки це перетворення, вихідний сигнал може бути отриманий завдяки знанню трансформації, таким чином, інформація не створюється і не втрачається в процесі. Вивчення серії Фур'є фактично забезпечує мотивацію перетворення Фур'є. Через властивості синусів та косинусів можна відновити кількість кожної хвилі, яка вносить свій внесок у суму, використовуючи інтеграл. Перетворення Фур'є має деякі основні властивості, такі як лінійність, переклад, модуляція, масштабування, кон'югація, подвійність та згортання. Перетворення Фур'є застосовується при вирішенні диференціальних рівнянь, оскільки перетворення Фур'є тісно пов'язане з перетворенням Лапласа. Перетворення Фур'є застосовується також в ядерно-магнітному резонансі (ЯМР) та в інших видах спектроскопії.

Різниця між серіями Фур'є та перетворенням Фур'є

Серія Фур'є - це розширення періодичного сигналу як лінійної комбінації синусів і косинусів, тоді як перетворення Фур'є - це процес або функція, що використовується для перетворення сигналів з часової області в частотну область. Серія Фур'є визначена для періодичних сигналів, і перетворення Фур'є можна застосовувати до апериодичних (відбуваються без періодичності) сигналів. Як було сказано вище, дослідження серії Фур'є фактично забезпечує мотивацію перетворення Фур'є.