Різниця між лінійними та нелінійними диференціальними рівняннями

Лінійні проти нелінійні диференціальні рівняння
 

Рівняння, що містить принаймні один диференціальний коефіцієнт або похідну невідомої змінної, відоме як диференціальне рівняння. Диференціальне рівняння може бути лінійним або нелінійним. Метою цієї статті є пояснення, що таке лінійне диференціальне рівняння, що таке нелінійне диференціальне рівняння та яка різниця між лінійними та нелінійними диференціальними рівняннями.

З часу розвитку обчислення в 18 столітті такими математиками, як Ньютон і Лейбніц, диференціальне рівняння відіграло важливу роль в історії математики. Диференціальні рівняння мають велике значення в математиці через спектр їх застосування. Диференціальні рівняння лежать в основі кожної моделі, яку ми розробляємо, щоб пояснити будь-який сценарій чи подію у світі, будь то фізика, інженерія, хімія, статистика, фінансовий аналіз чи біологія (список нескінченний). Насправді, доки обчислення не стало усталеною теорією, належних математичних інструментів не було в наявності для аналізу цікавих проблем природи.

Отримані рівняння від конкретного застосування обчислення можуть бути дуже складними, а іноді і нерозв'язними. Однак є такі, які ми можемо вирішити, але можуть виглядати однаково і заплутано. Тому для простішої ідентифікації диференціальні рівняння класифікуються за їх математичною поведінкою. Лінійна та нелінійна є однією з таких категоризацій. Важливо визначити різницю між лінійними та нелінійними диференціальними рівняннями.

Що таке лінійне диференціальне рівняння?

Припустимо, що f: X → Y і f (x) = y, a диференціальне рівняння без нелінійних доданків невідомої функції у а його похідні відомі як лінійне диференціальне рівняння.

Він встановлює умову, що у y не може бути вищих термінів індексу, таких як y², у³,… Та кілька похідних, таких як 

Він також не може містити нелінійні терміни, такі як Sin у, е^{у^ -2}, або ln у. Він приймає форму, 

де у і г є функціями х. Рівняння - це диференціальне рівняння порядку н, що є індексом похідної вищого порядку.

У лінійному диференціальному рівнянні диференціальний оператор є лінійним оператором, а розв’язки утворюють векторний простір. Внаслідок лінійного характеру набору рішень лінійна комбінація рішень є також рішенням диференціального рівняння. Тобто, якщо у₁ і у₂ - це рішення диференціального рівняння С₁ у₁+ С₂ у₂ також є рішенням.

Лінійність рівняння є лише одним параметром класифікації, і його можна далі класифікувати на однорідні або неоднорідні та звичайні або часткові диференціальні рівняння. Якщо функція є г= 0, то рівняння - це лінійне однорідне диференціальне рівняння. Якщо f є функцією двох або більше незалежних змінних (f: X, T → Y) і f (x, t) = y , то рівняння - лінійне часткове диференціальне рівняння.

Метод рішення диференціального рівняння залежить від типу та коефіцієнтів диференціального рівняння. Найпростіший випадок виникає, коли коефіцієнти постійні. Класичний приклад для цього випадку - другий закон руху Ньютона та різні його застосування. Другий закон Ньютона виробляє лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Що таке нелінійне диференціальне рівняння?

Рівняння, що містять нелінійні доданки, відомі як нелінійні диференціальні рівняння.

 

Все вище - нелінійні диференціальні рівняння. Нелінійні диференціальні рівняння важко вирішити, тому для отримання правильного рішення потрібно ретельне вивчення. У разі часткових диференціальних рівнянь більшість рівнянь не мають загального рішення. Тому до кожного рівняння доводиться звертатися незалежно.

Рівняння Нав'є-Стокса та рівняння Ейлера в динаміці рідини, польові рівняння Ейнштейна із загальною відносністю добре відомі нелінійними частковими диференціальними рівняннями. Іноді застосування рівняння Лагранжа до змінної системи може призвести до системи нелінійних часткових диференціальних рівнянь.

Яка різниця між лінійними та нелінійними диференціальними рівняннями?

• диференціальне рівняння, яке має лише лінійні доданки невідомої або залежної змінної та її похідні, відоме як лінійне диференціальне рівняння. Він не має терміна з залежною змінною індексу, що перевищує 1, і не містить кратних його похідних. Він не може мати нелінійних функцій, таких як тригонометричні функції, експоненціальна функція та логарифмічні функції щодо залежної змінної. Будь-яке диференціальне рівняння, яке містить вищезгадані терміни, є нелінійним диференціальним рівнянням.

• Рішення лінійних диференціальних рівнянь створюють векторний простір, а диференціальний оператор також є лінійним оператором у векторному просторі.

• Розв’язки лінійних диференціальних рівнянь відносно простіші і існують загальні розв’язки. Для нелінійних рівнянь у більшості випадків загального рішення не існує, і рішення може бути конкретним завданням. Це робить рішення набагато складніше, ніж лінійні рівняння.