Різниця між взаємовиключними та незалежними подіями

Взаємовиключні проти незалежних подій

Люди часто плутають поняття взаємовиключних подій з незалежними подіями. Насправді це дві різні речі.

Нехай A і B є будь-якими двома подіями, пов'язаними з випадковим експериментом E. P (A) називається "ймовірність A". Аналогічно, ми можемо визначити ймовірність B як P (B), ймовірність A або B як P (A∪B), а ймовірність A і B як P (A∩B). Тоді P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Однак дві події, які кажуть, є взаємовиключними, якщо виникнення однієї події не впливає на іншу. Іншими словами, вони не можуть відбуватися одночасно. Отже, якщо два події A і B взаємно виключають, то A∩B = ∅ і, отже, це означає, що P (A∪B) = P (A) + P (B).

Нехай A і B - дві події у вибірковому просторі S. Умовна ймовірність A, враховуючи, що B сталася, позначається P (A | B) і визначається як; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), за умови P (B)> 0. (інакше це не визначено.)

Кажуть, що подія A не залежить від події B, якщо на ймовірність виникнення A не впливає, відбулося чи ні. Іншими словами, результат події B не впливає на результат події А. Отже, P (A | B) = P (A). Аналогічно B не залежить від A, якщо P (B) = P (B | A). Отже, можна зробити висновок, що якщо A і B є незалежними подіями, тоді P (A∩B) = P (A) .P (B)

Припустимо, що пронумерований куб прокатується і справна монета гортається. Нехай A - це подія, що отримання голови та B - це подія, що перекочує парне число. Тоді ми можемо зробити висновок, що події А і В є незалежними, оскільки такий результат одного не впливає на результат іншого. Тому P (A∩B) = P (A) .P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Оскільки P (A∩B) ≠ 0, A і B не можуть бути взаємовиключними.

Припустимо, що урна містить 7 білих мармурів та 8 чорних мармурів. Визначте подію A як малювання білого мармуру, а подію B як малювання чорного мармуру. Якщо припустити, що кожен мармур буде замінено після відмітки його кольору, то P (A) і P (B) завжди будуть однаковими, незалежно від того, скільки разів ми будемо черпати з урни. Заміна мармуру означає, що ймовірності не змінюються від нічиї до малювання, незалежно від того, який колір ми вибрали в останньому розіграші. Тому події А і В є незалежними.

Однак якщо мармур малювали без заміни, то все змінюється. Згідно з цим припущенням, події А і В не є незалежними. Нанесення білого мармуру в перший раз змінює ймовірність малювання чорного мармуру на другому малюнку тощо. Іншими словами, кожен розіграш впливає на наступний розіграш, і тому окремі нічиї не є незалежними.