Різниця між ортогональним та ортонормальним

Ортогональні проти ортонормальних

У математиці два слова ортогональне та ортонормальне часто використовуються разом із набором векторів. Тут термін "вектор" використовується в тому сенсі, що це елемент векторного простору - алгебраїчна структура, що використовується в лінійній алгебрі. Для нашого обговорення ми розглянемо внутрішній-продуктовий простір - векторний простір V разом із внутрішнім виробом [] визначено на V.

Наприклад, для внутрішнього продукту простір - це набір усіх тривимірних векторів положення разом зі звичайним крапковим продуктом.

Що є ортогональним?

Непорожній підмножина S внутрішнього продуктового простору V кажуть, що є ортогональними, якщо і лише якщо для кожного виразний u, v в S, [u, v] = 0; тобто внутрішній продукт у і v дорівнює нульовому скаляру у внутрішньому просторі виробу.

Наприклад, у наборі всіх тривимірних векторів позиції це рівнозначно тому, що для кожної окремої пари векторів позиції p і q в S, p і q перпендикулярні один одному. (Пам’ятайте, що внутрішній добуток у цьому векторному просторі - це крапковий добуток. Також крапковий добуток двох векторів дорівнює 0, якщо і лише тоді, коли два вектори перпендикулярні один одному.

Розглянемо безліч S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), що є підмножиною 3-мірних векторів положення. Зауважте, що (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. Отже, множина S є ортогональним. Зокрема, кажуть, що два вектори є ортогональними, якщо їх внутрішній добуток дорівнює 0. Тому кожна пара векторів в Sє ортогональним.

Що таке ортонормальне?

Непорожній підмножина S внутрішнього продуктового простору V як кажуть, є ортонормальним, якщо і тільки якщо S є ортогональним і для кожного вектора у в S, [u, u] = 1. Отже, видно, що кожна ортонормальна множина є ортогональною, але не навпаки.

Наприклад, у наборі всіх тривимірних векторів позиції це рівнозначно тому, що для кожної окремої пари векторів позиції p і q в S, p і q перпендикулярні один одному, і для кожного p в S, | р | = 1. Це тому, що умова [р, р] = 1 зводиться до p.p = | p || p |cos0 = | р |²= 1, що еквівалентно | р | = 1. Отже, задаючи ортогональний набір, ми завжди можемо сформувати відповідний ортонормальний набір, поділивши кожен вектор на його величину.

Т = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) є ортонормальним підмножиною безлічі всіх тривимірних векторів положення. Неважко помітити, що вона була отримана діленням кожного з векторів у множині S, за їх величиною.

Яка різниця між ортогональними та ортонормальними?

• Непорожній підмножина S внутрішнього продуктового простору V кажуть, що є ортогональними, якщо і лише якщо для кожного окремого u, v в S, [u, v] = 0. Однак це ортонормальне, якщо і лише якщо додаткова умова - для кожного вектора у в S, [u, u] = 1 задоволений.
• Будь-який ортонормальний набір є ортогональним, але не навпаки.
• Будь-який ортогональний набір відповідає унікальному ортонормальному набору, але ортонормальний набір може відповідати багатьом ортогональним наборам.