Різниця між Power Series та Taylor Series

Power Series проти Taylor Series

У математиці реальна послідовність - це впорядкований список реальних чисел. Формально це функція від безлічі натуральних чисел до набору дійсних чисел. Якщо а_нє н^го Термін послідовності, ми позначаємо послідовність на або на а₁, а₂,…, А_н,.... Для прикладу розглянемо послідовність 1, ½, ⅓,… , ¹/_н,…. Його можна позначити як 1 / n.

Можна визначити ряд за допомогою послідовностей. Ряд - це сума членів послідовності. Тому для кожної послідовності є пов’язана послідовність і навпаки. Якщо_n є послідовністю, що розглядається, то ряд, утворений цією послідовністю, може бути представлений у вигляді:                                           

 Таким чином, у наведеному вище прикладі пов'язаний ряд дорівнює 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_н +… . 

Як випливають з назви, силові ряди - це особливий тип рядів, і він широко використовується в числовому аналізі та пов'язаному з ним математичному моделюванні. Серія Тейлора - це спеціальна силова серія, яка забезпечує альтернативний та простий у манеруванні спосіб представлення відомих функцій.

Що таке серія Power?

Силова серія - це серія форми

    

який є конвергентним (можливо) протягом деякого інтервалу з центром у c. Коефіцієнти а_н можуть бути дійсні чи складні числа і не залежать від х; тобто. фіктивна змінна.

Наприклад, встановивши а_н= 1 для кожного н, і c = 0, потужність ряду 1 + x + x²+… + X^н+… Виходить. Неважко помітити, що при x ε (-1,1) цей ряд потужностей сходиться до 1 / (1-x).          

Силова серія конвергується, коли х = c. Інші значення х для якого силові ряди сходяться завжди будуть у формі відкритого інтервалу, з центром у c. Тобто, буде значення 0≤ R ≤ ∞ такий, що для кожного х задовольняючи | x-c | ≤R, енергетичний ряд є конвергентним і для кожного х  задовольняючи | x-c |>R, силова серія розбіжна. Це значення R називається радіусом збіжності силового ряду (R може приймати будь-яку реальну цінність або позитивну нескінченність).

Силові ряди можна додавати, віднімати, множувати та ділити за допомогою наступних правил. Розглянемо дві силові серії:       

   

                               .

Потім,                 

тобто. як доданки додаються або віднімаються разом. Також можна множити і ділити два ряди потужності, використовуючи тотожність,

Що таке серія Тейлора?

Серія Тейлора визначена для функції f(х), що нескінченно диференціюється на проміжку. Припустимо f(х) є диференційованим на інтервалі з центром на c. Тоді енергетичний ряд, який задається

                                                                                                                                

називається розширенням функції серії Тейлора f(х) о c. (Тут f⁽ⁿ⁾(c) Позначають п^го похідна при х = c). У числовому аналізі кінцеве число доданків у цьому нескінченному розширенні використовується для обчислення значень у точках, коли ряд збігається з вихідною функцією.

Функція f(х), як кажуть, аналітичний в інтервалі (а, б), якщо для кожного x ε (a, b), ряду Тейлора f(х) переходить у функцію f(х). Наприклад, 1 / (1-x) є аналітичним на (-1,1), оскільки його розширення Тейлора 1 + x + x²+… + X^н+... переходить до функції на цьому інтервалі, і е^х  є аналітичним скрізь, починаючи з серії Тейлора е^хсходиться до е^х для кожного реального числа х.

Чим відрізняється серія Power від серії Taylor?

1. Серія Тейлора - це особливий клас силових рядів, визначений лише для функцій, які нескінченно диференціюються на деякому відкритому інтервалі.

2. Серії Тейлора приймають особливу форму

        

тоді як силовий ряд може бути будь-яким рядом форми