Різниця між визначеними та невизначеними інтегралами

Обчислення - важлива галузь математики, а диференціація відіграє вирішальну роль в обчисленні. Зворотний процес диференціації відомий як інтеграція, а зворотний відомий як інтеграл, або просто кажучи, обернена диференціація дає інтеграл. На основі отриманих результатів інтеграли поділяються на два класи, а саме: визначені та невизначені інтеграли.

Визначений інтеграл

Визначений інтеграл f (x) є числом і являє собою площу під кривою f (x) з х = а до x = b.

Певний інтеграл має верхні та нижні межі інтегралів, і це називається визначеним, тому що в кінці задачі у нас є число - це певна відповідь.

Невизначений інтеграл

Неозначений інтеграл f (x) - ФУНКЦІЯ і відповідає на питання: "Яка функція, коли диференціюється, дає f (x)?"

З невизначеним інтегралом тут немає верхньої та нижньої меж інтеграла, і все, що ми отримаємо, - це відповідь, яка все ще є хв ньому і також буде мати константу (зазвичай позначається через С) в цьому.

Індефінітний інтеграл зазвичай дає загальне рішення диференціального рівняння.

Індефінітний інтеграл є більш загальною формою інтеграції, і його можна інтерпретувати як антивиробнику розглянутої функції.

Припустимо диференціювання функції Ж призводить до іншої функції f, а інтеграція f дає інтеграл. Символічно це написано як

F (x) = ∫ƒ (x) dx

або

F = ∫ƒ dx

де обидва Ж і ƒ є функціями х, і Ж є диференційованим. У наведеній формі він називається інтегралом Реймана, а отримана функція супроводжує довільну константу.

Неозначений інтеграл часто виробляє сімейство функцій; тому інтеграл невизначений.

Інтеграли та інтеграційний процес лежать в основі вирішення диференціальних рівнянь. Однак, на відміну від етапів диференціації, кроки інтеграції не завжди дотримуються чіткого та стандартного розпорядку. Іноді ми бачимо, що рішення не може бути виражене явно в елементарній функції. У цьому випадку аналітичне рішення часто подається у вигляді невизначеного інтеграла.

Фундаментальна теорема обчислення

Визначений і невизначений інтеграл пов'язані Фундаментальною теоремою обчислення так: Для обчислення a певний інтеграл, знайди невизначений інтеграл (також відомий як анти-похідне) функції та оцінюють у кінцевих точках х = а і x = b.

Різниця між визначеними та невизначеними інтегралами буде очевидна, коли ми оцінимо інтеграли для тієї ж функції.

Розглянемо наступний інтеграл:

ДОБРЕ. Давайте зробимо їх обох і побачимо різницю.

Для інтеграції нам потрібно додати його до індексу, що призводить нас до наступного виразу:

У цей момент часу С є лише постійною для нас. Додаткова інформація потрібна в задачі, щоб визначити точне значення С.

Оцінимо той самий інтеграл у його визначеному вигляді, тобто з включеною верхньою та нижньою межами.

Графічно кажучи, ми зараз обчислюємо площу під кривою f (x) = y³ між у = 2 і у = 3.

Перший крок у цій оцінці такий же, як і невизначений інтегральний оцінок. Єдина відмінність полягає в тому, що цього разу навколо ми не додаємо константу С.

Вираз у цьому випадку виглядає так:

Це своєю чергою призводить до:

По суті, ми замінили 3, а потім 2 в виразі і отримали різницю між ними.

Це певне значення на відміну від використання константи С раніше.

Давайте вивчимо константний фактор (щодо невизначеного інтеграла) дещо детальніше.

Якщо різниця у³ є 3р², потім

∫3р²dy = y³

Однак, 3р² може бути різницею багатьох виразів, до яких належать деякі у³-5, у³+7, і т.д. ... Це означає, що обертання не є унікальним, оскільки константа не враховується під час роботи.

Так взагалі, 3р² є диференціалом у³+С де С є будь-яка константа. До речі, C відомий як "константа інтеграції".

Ми пишемо це як:

∫ 3р².dx = y³ + С

Технології інтеграції для невизначеного інтеграла, такі як пошук таблиць або інтеграція Risch, можуть додати нових розривів у процесі інтеграції. Ці нові розриви з'являються через те, що антидеривати можуть вимагати введення складних логарифмів.

Складні логарифми мають розрив стрибка, коли аргумент перетинає негативну дійсну вісь, і алгоритми інтеграції іноді не можуть знайти уявлення, де ці стрибки скасовуються.

Якщо визначений інтеграл оцінюється спочатку обчисленням невизначеного інтеграла, а потім заміщенням меж інтеграції в результат, ми повинні знати, що невизначена інтеграція може призвести до розривів. Якщо це так, додатково ми повинні дослідити розриви в інтервалі інтеграції.