Різниця між визначеними та невизначеними інтегралами

Визначення проти невизначених інтегралів

Обчислення - важлива галузь математики, а диференціація відіграє вирішальну роль в обчисленні. Зворотний процес диференціації відомий як інтеграція, а зворотний відомий як інтеграл, або просто кажучи, обернена диференціація дає інтеграл. На основі отриманих результатів інтеграли поділяються на два класи; певні та невизначені інтеграли.

Детальніше про невизначені інтеграли

Індефінітний інтеграл є більшою мірою загальною формою інтеграції, і його можна інтерпретувати як анти-похідну розглянутої функції. Припустимо, диференціювання F дає f, а інтеграція f дає інтеграл. Його часто записують як F (x) = ∫ƒ (x) dx або F = ∫ƒ dx, де і F, і functions є функціями x, і F є диференційованим. У наведеній формі він називається інтегралом Реймана, а отримана функція супроводжує довільну константу. Неозначений інтеграл часто виробляє сімейство функцій; тому інтеграл невизначений.

Інтеграли та інтеграційний процес лежать в основі вирішення диференціальних рівнянь. Однак, на відміну від диференціації, інтеграція не дотримується чіткого та стандартного розпорядку завжди; Іноді рішення не може бути виражене явно через елементарну функцію. У цьому випадку аналітичне рішення часто подається у вигляді невизначеного інтеграла.

Більше про визначені інтеграли

Певні інтеграли - це багатоцінні аналоги невизначених інтегралів, де процес інтеграції насправді дає кінцеве число. Його можна графічно визначити як площу, обмежену кривою функції ƒ протягом заданого інтервалу. Щоразу, коли інтеграція виконується протягом заданого інтервалу незалежної змінної, інтеграція дає певне значення, яке часто записується як _а∫^бƒ (x) dx або _а∫^б ƒdx.

Неозначені інтеграли та певні інтеграли пов'язані між собою через першу фундаментальну теорему обчислення, що дозволяє визначити певний інтеграл, використовуючи невизначені інтеграли. Теорема констатує _а∫^бƒ (x) dx = F (b) -F (a), де і F, і functions є функціями x, а F є диференційованим в інтервалі (a, b). Враховуючи інтервал, a і b відомі як нижня межа, так і верхня межа відповідно.

Замість того, щоб зупинятися лише з реальними функціями, інтеграцію можна поширити на складні функції, і ці інтеграли називаються контурними інтегралами, де ƒ - функція складної змінної.

Яка різниця між визначеними та невизначеними інтегралами?

Індефініті інтеграли являють собою анти-похідну функцію, і часто це сімейство функцій, а не певне рішення. У визначених інтегралах інтеграція дає кінцеве число.

Індефініті інтеграли пов'язують довільну змінну (отже, сімейство функцій), а певні інтеграли мають не довільну константу, а верхню межу та нижню межу інтеграції.

Індефінітний інтеграл зазвичай дає загальне рішення диференціального рівняння.