Різниця між раціональними та ірраціональними числами

Термін “числа” знає про те, що, як правило, класифікуються як цілі додатні значення, що перевищують нуль. Інші класи чисел включають цілі числа і фракції, складний і реальні числа і також від’ємні цілі значення.

Подовжуючи класифікацію чисел далі, ми стикаємося раціональний і ірраціональний числа. Раціональне число - це число, яке можна записати дробом. Іншими словами, раціональне число можна записати у співвідношенні двох чисел.

Розглянемо, наприклад, число 6. Його можна записати як відношення двох чисел, а саме. 6 і 1, що веде до співвідношення 6/1. Так само, 2/3, який пишеться як дріб, це раціональне число.

Таким чином, ми можемо визначити раціональне число як число, записане у формі дробу, де і чисельник (число вгорі), і знаменник (число внизу) - цілі числа. Отже, за визначенням, кожне ціле число також є раціональним числом.

Співвідношення двох великих чисел, таких як (129,367,871)/(547 724 863) також буде прикладом раціонального числа з тієї простої причини, що і чисельник, і знаменник є цілими числами.

І навпаки, будь-яке число, яке не може бути виражене у вигляді дробу або співвідношення, називається ірраціональним. Найбільш часто наводиться приклад ірраціонального числа √2 (1.414213…). Ще один популярний приклад ірраціонального числа - числова константа π (3.141592 ... ).

Ірраціональне число можна записати як десятковий, але не як дріб. Ірраціональні цифри не часто використовуються в повсякденному житті, хоча вони існують у рядку чисел. Між ними існує нескінченна кількість ірраціональних чисел 0 і 1 на номерному рядку. Ірраціональне число має нескінченні цифри, що повторюються праворуч від десяткової коми.

Зауважимо, що часто цитується значення 22/7 для постійної π насправді лише одне значення π. За визначенням окружність кола, поділена на подвійний його радіус, є значенням π. Це призводить до декількох значень π, включаючи, але не обмежуючись ними, 333/106, 355/113 і так далі1.

Тільки квадратні корені квадратних чисел; тобто квадратні корені ідеальні квадрати є раціональними.

√1= 1 (Раціональний)

√2 (Ірраціональне)

√3 (Ірраціональне)

√4 = 2 (Раціональний)

√5, √6, √7, √8 (Ірраціональне)

√9 = 3 (Раціональний) тощо.

Далі зазначимо, що тільки нго коріння нсили є раціональними. Таким чином 6-й корінь 64 є раціональним, тому що 64 це 6-й влада, а саме 6-й потужність 2. Але 6-й корінь 63 є нераціональним. 63 не є досконалим 6го потужність.

Демісячне представлення ірраціоналів неминуче виявляється і дає кілька цікавих результатів.

Коли ми виражаємо а раціональний число як десятковий, то або десятковим буде точний (а саме 1/5= 0,20) або це буде неточний (а саме, 1/3 ≈ 0,3333). В будь-якому випадку буде передбачувана схема цифр. Зауважте, що коли ірраціональний число виражається у вигляді десяткової, тоді явно воно буде неточним, бо в іншому випадку число було б раціональним.

Більше того, не буде передбачуваної схеми цифр. Наприклад,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Зараз ми з раціональними числами періодично стикаємось 1/11 = 0,0909090.

Використання обох знаків рівності (=) і три крапки (еліпсис) означає, що хоч це неможливо виразити 1/11 точно як десятковий, ми все ще можемо наблизити його до такої кількості десяткових цифр, дозволених для наближення 1/11.

Таким чином, десяткова форма 1/11 вважається неточним. Тим самим десятковою формою  ¼ що становить 0,25, точно.

Переходячи до десяткової форми для ірраціональних чисел, вони завжди будуть неточними. Продовжуючи приклад з √2, коли ми пишемо √2 = 1,41421356237… (Зверніть увагу на використання еліпсису), це відразу означає, що для декади немає √2 буде точним. Далі не буде передбачуваною схемою цифр. Використовуючи поняття з числових методів, ми знову можемо раціонально наблизити стільки десяткових цифр до тих пір, поки ми не будемо близькі √2.

Будь-яка примітка про раціональні та ірраціональні числа не може закінчитися без обов'язкового підтвердження того, чому √2 є нераціональним. Роблячи це, ми також з'ясовуємо, класичний приклад а доказ продовженнярадікція.

Нехай √2 раціональний. Скажімо, це відображає це як відношення двох цілих чисел, скажімо p і q.

√2 = p / q

Не треба говорити, p і q не мають загальних факторів, бо якби були загальні чинники, ми б їх відмінили з чисельника та знаменника.

Склавши обидві сторони рівняння, ми закінчуємо,

2 = р2 / q2

Це можна зручно записати як,

p2 = 2q2

Останнє рівняння говорить про це p2 рівномірний. Це можливо лише в тому випадку, якщо p сама рівна. Це в свою чергу випливає з цього p2 ділиться на 4. Звідси, q2 і, отже, q повинно бути рівним. Так p і q вони обидва, навіть це суперечить нашому початковому припущенню, що вони не мають загальних факторів. Таким чином, √2 не може бути раціональним. Q.E.D.