Різниця між числами кардинала та порядковими числами

Кардинал проти ординалів 
 

У нашому щоденному житті вживання чисел може приймати різні форми в різних ситуаціях. Наприклад, коли ми розраховуємо розмір колекції предметів, ми рахуємо їх як один, два, три тощо. Коли ми хочемо щось порахувати, щоб отримати відчуття положення об’єктів, ми рахуємо їх як перше, друге, третє тощо. У першій формі підрахунку цифри називають кардинальними числами. У другій формі підрахунку числа вважаються порядковими числами. У цьому контексті поняття кардинальні та порядкові є повністю питаннями лінгвістики; кардинальний і порядковий - прикметники.

Однак розширення поняття на множини з математики виявляє набагато глибшу та більш широку перспективу і не може бути розглянуто простими словами. У цій статті ми спробуємо розібратися в основних поняттях кардинальних і порядкових чисел у математиці.

Формальні визначення кардинальних і порядкових чисел наведені в теорії множин. Визначення складні і для розуміння їх у досконалому сенсі потрібні опорні знання в теорії множин. Тому ми звернемося до пари прикладів, щоб зрозуміти поняття евристично.

Розглянемо два комплекти 1,3,6,4,5,2 і автобус, машина, пором, поїзд, літак, вертоліт. Кожен набір містить список елементів, і якщо порахувати кількість елементів, видно, що кожен має однакову кількість елементів, що становить 6. Прийшовши до цього висновку, ми взяли розмір одного набору і порівняли з іншим за допомогою число. Таке число називається кардинальним числом. Отже, можна сказати, що кардинальне число - це число, яке ми можемо використовувати для порівняння розмірів кінцевих множин.

Знову перший набір чисел можна розташувати у порядку зростання, враховуючи розмір кожного елемента та порівнюючи їх. У процесі замовлення номери розглядаються як кардинали. Аналогічно, набір усіх невід’ємних цілих чисел можна впорядкувати у множині; тобто 0,1,2,3,4,…. Але в цьому випадку розмір набору стає нескінченним, і надати його з точки зору ординалій неможливо. Незалежно від того, яке велике число ви вибрали, щоб надати розмір набору, все-таки з вибраного набору залишиться число, яке не має негативних цілих чисел.

Тому математики визначають цей нескінченний кардинал (який є першим) як Алеф-0, написаний як א (перша буква єврейського алфавіту). Формально порядковий номер - це тип порядку добре упорядкованого набору. Отже, порядковий номер кінцевих множин може бути заданий кардинальними числами, але для нескінченних множин порядковий номер задається через безмежні числа, такі як Алеф-0.

Яка різниця між числами кардиналів та ординарів?

• Кардинальне число - це число, яке можна використати для підрахунку чи надання розміру скінченного упорядкованого набору. Усі кардинальні числа - порядкові.

• Порядкові числа - це числа, які використовуються для визначення розміру кінцевих і нескінченних упорядкованих множин. Розмір кінцевих упорядкованих наборів задається звичайними індуїстсько-арабськими алгебраїчними цифрами, а нескінченний розмір множини задається через безмежні числа.