Різниця між залежними та незалежними подіями

Залежний проти незалежних подій

У своєму повсякденному житті ми стикаємося з подіями з невизначеністю. Наприклад, шанс виграти лотерею, яку ви купуєте, або шанс отримати роботу, яку ви подали на заявку. Фундаментальна теорія ймовірності використовується для математичного визначення ймовірності того, що щось станеться. Ймовірність завжди пов'язана з випадковими експериментами. Кажуть, що експеримент з кількома можливими результатами є випадковим експериментом, якщо результат будь-якого окремого випробування неможливо передбачити заздалегідь. Залежні та незалежні події - це терміни, які використовуються в теорії ймовірностей.

Подія Б як кажуть незалежний події А, якщо ймовірність того Б відбувається, не впливає чи А сталося чи ні. Просто дві події є незалежними, якщо результат однієї не впливає на ймовірність настання іншої події. Іншими словами, Б не залежить від А, якщо P (B) = P (B | A). Аналогічно, А не залежить від Б, якщо P (A) = P (A | B). Тут P (A | B) позначає умовну ймовірність A, припускаючи, що B сталося. Якщо ми розглянемо прокатку двох кісток, число, що з’являється в одній штампі, не впливає на те, що з’явилося в іншій штампі.

Для будь-яких двох подій А і Б у просторі вибірки S; умовна ймовірність А, враховуючи це Б сталося P (A | B) = P (A∩B) / P (B). Отже, якщо подія A не залежить від події B, тоді P (A) = P (A | B) означає, що P (A∩B) = P (A) x P (B). Аналогічно, якщо P (B) = P (B | A), тоді P (A∩B) = P (A) x P (B) виконується. Отже, можна зробити висновок, що два події A і B є незалежними, якщо і тільки тоді, коли умова P (A∩B) = P (A) x P (B) виконується.

Будемо вважати, що ми катаємо штамп одночасно і кидаємо монету. Тоді набір усіх можливих результатів або простір вибірки дорівнює S = (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H) , (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Нехай подія A - це подія отримання голови, тоді ймовірність події A, P (A) дорівнює 6/12 або 1/2, а B - подія отримання кратного трьох на штамп. Тоді P (B) = 4/12 = 1/3. Будь-яка з цих двох подій не впливає на настання іншої події. Отже, ці дві події є незалежними. Оскільки множина (A∩B) = (3, H), (6, H), ймовірність того, що подія отримає голову і кратну трійці на штампі, тобто P (A∩B), становить 2/12 або 1/6. Множення P (A) x P (B) також дорівнює 1/6. Оскільки два події А і В є умовою, можна сказати, що А і В є незалежними подіями.

Якщо на результат події впливає результат іншої події, тоді, як кажуть, подія залежить.

Припустимо, що у нас є мішок, який містить 3 червоні кульки, 2 білі кульки та 2 зелені кульки. Імовірність намалювати білу кулю випадковим чином становить 2/7. Яка ймовірність намалювати зелений кульку? Це 2/7?

Якби ми намалювали другий кульку після заміни першого кулі, ця ймовірність складе 2/7. Однак якщо ми не замінимо перший кулю, який ми вийняли, то у нас у мішку лише шість кульок, тому ймовірність намалювати зелену кулю зараз становить 2/6 або 1/3. Тому друга подія є залежною, оскільки перша подія має вплив на другу подію.