Різниця між похідними та диференціальними

Похідне проти диференціальне
 

У диференційному обчисленні похідна та диференціальна функція тісно пов'язані, але мають дуже різні значення і використовуються для представлення двох важливих математичних об'єктів, пов'язаних з диференційованими функціями.

Що є похідним?

Похідне функції вимірює швидкість, з якою змінюється значення функції, коли змінюється її вхід. У багато змінних функціях зміна значення функції залежить від напрямку зміни значень незалежних змінних. Тому в таких випадках вибирається конкретний напрямок і функція диференціюється в цьому конкретному напрямку. Ця похідна називається похідною спрямованості. Часткові похідні - це особливий вид похідних спрямованих.

Похідне від векторної функції f може бути визначений як межа де б вона існувала безмежно. Як згадувалося раніше, це дає нам швидкість збільшення функції f по напрямку вектора у. У випадку однозначної функції це зводиться до загальновідомого визначення похідної,  

Наприклад, скрізь диференційований, а похідна дорівнює межі, , що дорівнює . Похідні функцій, такі як   існують скрізь. Вони відповідно рівні функції .                                                                                

Це відоме як перша похідна. Зазвичай перша похідна функції f позначається через f ⁽¹⁾. Тепер, використовуючи це позначення, можна визначити похідні вищого порядку. є похідною другого порядку, що позначає н^го похідне від f ^(н) для кожного н, ,  визначає н^го похідне.

Що є диференціальним?

Диференціал функції являє собою зміну функції стосовно змін незалежної змінної чи змінних. У звичайних позначеннях для даної функції f єдиної змінної х, загальний диференціал порядку 1 df є дається, . Це означає, що для нескінченно малої зміни в х(тобто dх), буде a  f ⁽¹⁾(х) dх зміни в f.

Використовуючи обмеження, можна закінчити таке визначення наступним чином. Припустимо ∆х - це зміна х у довільній точці х і ∆f - відповідна зміна функції f. Можна показати, що ∆f = f ⁽¹⁾(х) ∆х+ ϵ, де ϵ - помилка. Тепер межа ∆х →0^∆f/_∆х= f ⁽¹⁾(х) (використовуючи раніше заявлене визначення похідної) і, таким чином, ∆х →0^ϵ/_∆х= 0. Тому можна зробити висновок, що ∆х →0ϵ = 0. Тепер, позначаючи ∆х →0 ∆f як df і ∆х →0 ∆х як dх визначення диференціалу отримують жорстко. 

Наприклад, диференціал функції є .

У разі функцій двох або більше змінних загальний диференціал функції визначається як сума диференціалів у напрямках кожної з незалежних змінних. Математично це можна констатувати як .