Різниця між диференціацією та похідною

Диференціація проти похідних
 

У диференційному обчисленні похідна та диференціація тісно пов'язані, але дуже різні, і використовуються для представлення двох важливих математичних понять, пов'язаних із функціями.

Що є похідним?

Похідне функції вимірює швидкість, з якою змінюється значення функції, коли змінюється її вхід. У багато змінних функціях зміна значення функції залежить від напрямку зміни значень незалежних змінних. Тому в таких випадках вибирається конкретний напрямок і функція диференціюється в цьому конкретному напрямку. Ця похідна називається похідною спрямованості. Часткові похідні - це особливий вид похідних спрямованих.

Похідне від векторної функції f може бути визначений як межа де б вона існувала безмежно. Як згадувалося раніше, це дає нам швидкість збільшення функції f по напрямку вектора у. У випадку однозначної функції це зводиться до загальновідомого визначення похідної,  

Наприклад, скрізь диференційований, а похідна дорівнює межі, , що дорівнює . Похідні функцій, такі як   існують скрізь. Вони відповідно рівні функції .                                                                                

Це відоме як перша похідна. Зазвичай перша похідна функції f позначається через f ⁽¹⁾. Тепер, використовуючи це позначення, можна визначити похідні вищого порядку. є похідною другого порядку, що позначає н^го похідне від f ^(н) для кожного н, ,  визначає н^го похідне.

Що таке диференціація?

Диференціація - це процес знаходження похідної диференційованої функції. D-оператор позначається через D являє собою диференціацію в деяких контекстах. Якщо х то незалежна змінна D ≡ ^г/_dx. D-оператор - це лінійний оператор, тобто для будь-яких двох диференційованих функцій f і г і постійний c, наступні властивості зберігаються.

Я.  D(f + г) = D(f) + D (г)

II.  D(пор) = cD(f )

Використовуючи D-оператор, інші правила, пов'язані з диференціацією, можна виразити так. D(f г) = D(f ) г +f D(г) , D(^f/_г) = ^{[D(f ) г - f D(ж)]}/_г² і D(f  о г) = (D(f) о г) D (г).

Наприклад, коли F (х) = х²гріх х диференційовано відносно х використовуючи наведені правила, відповідь буде 2хгріх х -+ х²cosх.