Різниця між інтеграцією та підсумовуванням

Інтеграція проти підсумовування
 

У вищевказаній математиці середньої школи інтеграція та підсумовування часто зустрічаються в математичних операціях. Вони, здавалося б, використовуються як різні інструменти і в різних ситуаціях, але вони мають дуже тісні стосунки.

Детальніше про підсумовування

Підсумовування - це операція додавання послідовності чисел і операція часто позначається грецькою літерою великої літери сигми Σ. Він використовується для скорочення підсумовування і дорівнює сумі / загальній послідовності. Їх часто використовують для представлення рядів, які по суті є нескінченними послідовностями, підведеними підсумками. Вони також можуть бути використані для позначення суми векторів, матриць або многочленів.

Підсумовування зазвичай робиться для діапазону значень, який може бути представлений загальним терміном, наприклад, рядом, який має загальний термін. Початкова і кінцева точка підсумовування називаються відповідно нижньою та верхньою межею підсумовування.

Наприклад, сума послідовності a₁, а₂, а₃, а₄, …, А_н це₁ + а₂ + а₃ +… + A_н яку можна легко представити, використовуючи позначення підсумовування як ∑^н_{i = 1} а_i; i називається індексом підсумовування.

Для підсумовування на основі додатка використовується багато варіантів. У деяких випадках верхня межа та нижня межа можуть бути задані у вигляді інтервалу чи діапазону, наприклад ∑_1≤i≤100 а_i і ∑_{i∈ [1100]} а_i. Або він може бути заданий у вигляді набору чисел, таких як ∑_i∈P а_i , де P - визначена множина.

В деяких випадках можуть використовуватися два або більше знаків сигми, але їх можна узагальнити так; ∑_j ∑_к а_jk = ∑_{j, k} а_jk.

Також підсумовування відповідає багатьом алгебраїчним правилам. Оскільки вбудована операція є доповненням, багато загальних правил алгебри можуть бути застосовані до самих сум і для окремих термінів, зображених підсумовуванням.

Більше про інтеграцію

Інтеграція визначається як зворотний процес диференціації. Але в його геометричному погляді його також можна розглядати як площу, огороджену кривою функції і віссю. Тому обчислення площі дає значення певного інтеграла, як показано на схемі.

Джерело зображення: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Значення визначеного інтеграла насправді є сумою малих смуг всередині кривої та осі. Площа кожної смуги - це висота × ширина в точці на розглянутій осі. Ширина - це значення, яке ми можемо вибрати, скажімо ∆x. А висота - це приблизно значення функції у розглянутій точці, скажімо f(х_i). З діаграми видно, що чим менше смуг, тим краще смуги поміщаються всередині обмеженої області, отже, краще наближення значення.

Отже, загалом певний інтеграл Я, між точками a і b (тобто в інтервалі [a, b], де aЯ ≅ f(х₁) ∆x + f(х₂) ∆x + ⋯ + f(х_н) ∆x, де n - кількість смуг (n = (b-a) / ∆x). Це підсумовування області можна легко представити, використовуючи позначення підсумовування як Я ≅ ∑^н_{i = 1} f(х_i) ∆x. Оскільки наближення краще, коли ∆x ​​менше, ми можемо обчислити значення, коли ∆x ​​→ 0. Тому розумно сказати Я = lim_{∆x → 0} ∑^н_{i = 1} f(х_i) ∆x.

Як узагальнення з наведеного поняття, ми можемо вибрати ∆x на основі розглянутого інтервалу, індексованого i (вибравши ширину площі на основі положення). Тоді ми отримуємо

Я= lim_{∆x → 0} ∑^н_{i = 1} f(х_i) ∆x_i = _а∫^б f(x) dx

Це відомо як інтеграл функції Реймана f(x) в інтервалі [a, b]. У цьому випадку a і b відомі як верхня межа і нижня межа інтеграла. Інтеграл Реймана є базовою формою всіх методів інтеграції.

По суті, інтеграція - це підсумовування площі, коли ширина прямокутника нескінченно мала.

Яка різниця між інтеграцією та підсумовуванням?

• Підсумовування - це складання послідовності чисел. Зазвичай підсумовується у такому вигляді ∑^н_{i = 1} а_i коли умови в послідовності мають шаблон і можуть бути виражені за допомогою загального терміна.

• Інтеграція - це в основному область, обмежена кривою функції, віссю та верхньою та нижньою межами. Ця площа може бути подана як сума значно менших площ, що входять до обмеженої області.

• Підсумовування передбачає дискретні значення з верхньою та нижньою межами, тоді як інтеграція передбачає постійні значення.

• Інтеграцію можна трактувати як особливу форму підсумовування.

• У числових методах обчислення інтеграція завжди виконується як підсумовування.