Різниця між трансформаціями Лапласа та Фур'є

Перетворення Лапласа проти Фур'є
 

Перетворення Лапласа і перетворення Фур'є є інтегральними перетвореннями, які найчастіше використовуються як математичні методи для вирішення математично модельованих фізичних систем. Процес простий. Складну математичну модель перетворюють у більш просту, вирішувану модель за допомогою інтегрального перетворення. Після того, як спрощена модель буде вирішена, застосовується зворотне інтегральне перетворення, яке б забезпечило рішення вихідної моделі.

Наприклад, оскільки більшість фізичних систем призводять до диференціальних рівнянь, вони можуть бути перетворені в алгебраїчні рівняння або в легкорозв'язні диференціальні рівняння нижчого ступеня за допомогою інтегрального перетворення. Тоді вирішити проблему стане простіше.

Що таке трансформація Лапласа?

Дана функція f (т) реальної змінної т, його перетворення Лапласа визначається інтегралом (коли б вона існувала), що є функцією складної змінної с. Зазвичай позначається L f (т). Зворотне перетворення Лапласа функції Ж(с) приймається функцією f (т) таким чином, що L f (т) = Ж(с), і у звичайному математичному позначенні пишемо, L ^-1Ж(с) = f (т).Зворотне перетворення може бути унікальним, якщо нульові функції заборонені. Можна виділити ці два як лінійні оператори, визначені у функціональному просторі, і це також легко побачити, L ^-1L f (т) = f (т), якщо нульові функції заборонені.

Наступна таблиця перераховує перетворення Лапласа деяких найпоширеніших функцій.

Що таке перетворення Фур'є?

Дана функція f (т) реальної змінної т, його перетворення Лапласа визначається інтегралом (коли він існує) і позначається F f (т). Зворотне перетворення F ^-1Ж(α) задається інтегралом . Перетворення Фур'є також лінійне, і його можна розглядати як оператор, визначений у функціональному просторі.

Використовуючи перетворення Фур'є, оригінальну функцію можна записати так, за умови, що функція має лише обмежене число розривів і абсолютно інтегрується.

Яка різниця між трансформаціями Лапласа та Фур’є?

• Перетворення Фур'є функції f (т) визначається як , тоді як трансформація Лапласа визначається як така .
• Перетворення Фур'є визначається лише для функцій, визначених для всіх дійсних чисел, тоді як для перетворення Лапласа функція не визначається для заданих від'ємних дійсних чисел.
• Перетворення Фур'є - особливий випадок перетворення Лапласа. Видно, що обидва збігаються для невід’ємних дійсних чисел. (тобто взяти с в Лапласі бути iα + β де α і β справжні такі е ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Кожна функція, що має перетворення Фур'є, матиме перетворення Лапласа, але не навпаки.