Різниця між лінійним рівнянням і нелінійним рівнянням

Лінійне рівняння проти нелінійного рівняння

У математиці алгебраїчні рівняння - це рівняння, які утворюються за допомогою многочленів. Коли явно записано рівняння, будуть форми P (х) = 0, де х є вектором n невідомих змінних і P - многочлен. Наприклад, P (x, y) = 4x⁵ + xy³ + y + 10 = 0 - алгебраїчне рівняння у двох змінних, написаних явно. Також (x + y)³ = 3х²y - 3zy⁴ є алгебраїчним рівнянням, але в неявній формі і прийме вигляд Q (x, y, z) = x³ + у³ + 3xy² +3зи⁴ = 0, один раз написано явно.

Важливою характеристикою алгебраїчного рівняння є його ступінь. Він визначається як найвища потужність доданків, що виникають в рівнянні. Якщо термін складається з двох або більше змінних, то сума експонентів кожної змінної буде прийнята як сила терміна. Зауважте, що згідно з цим визначенням P (x, y) = 0 є ступенем 5, тоді як Q (x, y, z) = 0 є ступенем 5.

Лінійні рівняння та нелінійні рівняння - це двороздільний, визначений на множині алгебраїчних рівнянь. Ступінь рівняння - це фактор, який відрізняє їх один від одного.

Що таке лінійне рівняння?

Лінійне рівняння - це алгебраїчне рівняння ступеня 1. Наприклад, 4x + 5 = 0 - лінійне рівняння однієї змінної. x + y + 5z = 0 і 4x = 3w + 5y + 7z - лінійні рівняння відповідно 3 та 4 змінних. Загалом, лінійне рівняння n змінних буде приймати вигляд m₁х₁ + м₂х₂ +… + М_n-1х_n-1 + м_нх_н = b. Тут, х_is - це невідомі змінні, m_i's і b - дійсні числа, де кожен з m_i є ненульовим.

Таке рівняння являє собою гіпер площину в n-мірному евклідовому просторі. Зокрема, два змінних лінійних рівнянь представляють пряму в декартовій площині, а три змінної лінійного рівняння являє собою площину на 3-просторі Евкліда.

Що таке нелінійне рівняння?

Квадратне рівняння - це алгебраїчне рівняння, яке не є лінійним. Іншими словами, нелінійне рівняння - це алгебраїчне рівняння ступеня 2 або вище. х² + 3x + 2 = 0 - це єдине змінне нелінійне рівняння. х² + у³+ 3xy = 4 і 8yzx² + у² + 2з² + x + y + z = 4 - приклади нелінійних рівнянь 3 та 4 змінних відповідно.

Нелінійне рівняння другого ступеня називається квадратичним рівнянням. Якщо ступінь дорівнює 3, то це називається кубічним рівнянням. Рівняння ступеня 4 і 5 називаються відповідно квар- тичними та квінтними рівняннями. Доведено, що не існує аналітичного методу для вирішення будь-якого нелінійного рівняння ступеня 5, і це справедливо і для будь-якого вищого ступеня. Розв'язні нелінійні рівняння являють собою гіперповерхні, які не є гіперплощинами.