Різниця між лінійним рівнянням і квадратичним рівнянням

Лінійне рівняння проти квадратичного рівняння

У математиці алгебраїчні рівняння - це рівняння, утворені за допомогою многочленів. Коли явно записано рівняння, будуть форми P (х) = 0, де х є вектором n невідомих змінних і P - многочлен. Наприклад, P (x, y) = x⁴ + у³ + х²y + 5 = 0 - алгебраїчне рівняння двох змінних, записаних явно. Також (x + y)³= 3х²y - 3zy⁴ є алгебраїчним рівнянням, але в неявній формі. Він прийме вигляд Q (x, y, z) = x³ + у³ + 3xy²+3зи⁴= 0, один раз написано явно.

Важливою характеристикою алгебраїчного рівняння є його ступінь. Він визначається як найвища потужність доданків, що виникають в рівнянні. Якщо термін складається з двох або більше змінних, то сума експонентів кожної змінної буде прийнята як сила терміна. Зауважте, що згідно з цим визначенням P (x, y) = 0 є ступенем 4, тоді як Q (x, y, z) = 0 є ступенем 5.

Лінійні рівняння та квадратичні рівняння - це два різних типи алгебраїчних рівнянь. Ступінь рівняння - це фактор, який відрізняє їх від решти алгебраїчних рівнянь.

Що таке лінійне рівняння?

Лінійне рівняння - це алгебраїчне рівняння ступеня 1. Наприклад, 4x + 5 = 0 - лінійне рівняння однієї змінної. x + y + 5z = 0 і 4x = 3w + 5y + 7z - лінійні рівняння відповідно 3 та 4 змінних. Загалом, лінійне рівняння n змінних буде приймати вигляд m₁х₁ +м₂х₂ +… + М_n-1х_n-1 + м_нх_н = b. Тут, х_is - це невідомі змінні, m_i's і b - дійсні числа, де кожен з m_i є ненульовим.

Таке рівняння являє собою гіпер площину в n-мірному евклідовому просторі. Зокрема, два змінних лінійних рівнянь представляють пряму в декартовій площині, а три змінної лінійного рівняння являє собою площину на 3-просторі Евкліда.

Що таке квадратичне рівняння?

Квадратне рівняння - це алгебраїчне рівняння другого ступеня. х² + 3x + 2 = 0 - це єдине змінне квадратичне рівняння. х² + у² + 3х = 4 і 4х² + у² + 2з² + x + y + z = 4 - приклади квадратичних рівнянь 2 та 3 змінних відповідно.

У випадку єдиної змінної загальною формою квадратичного рівняння є ax² + bx + c = 0. Де a, b, c - дійсні числа, з яких 'a' не дорівнює нулю. Дискримінант ∆ = (b² - 4ac) визначає природу коренів квадратичного рівняння. Коріння рівняння будуть дійсно виразними, дійсними подібними та складними згідно з ∆ позитивним, нульовим та негативним. Коріння рівняння легко знайти за формулою x = (- b ± √∆) / 2a.

У двох змінних випадках загальною формою буде сокира² + від² + cxy + dx + ex + f = 0, і це являє собою конічний (парабола, гіпербола або еліпс) у декартовій площині. У вищих вимірах цей тип рівнянь представляє гіперповерхні, відомі як квадрики.