Різниця між функцією розподілу ймовірності та функцією щільності ймовірності

Функція розподілу ймовірностей проти функції ймовірності щільності

Ймовірність - це ймовірність того, що подія станеться. Ця ідея дуже поширена і часто використовується у повсякденному житті, коли ми оцінюємо наші можливості, транзакції та багато іншого. Розширити цю просту концепцію на більший набір подій - трохи складніше. Наприклад, ми не можемо легко зрозуміти шанси виграти в лотерею, але зручно, досить інтуїтивно сказати, що існує ймовірність одного з шести, що ми отримаємо номер шість у викинутій кістки.

Коли кількість подій, які можуть відбутися, стає більшою або кількість індивідуальних можливостей велика, ця досить проста ідея ймовірності провалюється. Тому перед тим, як підійти до завдань з більш високою складністю, йому слід дати ґрунтовне математичне визначення.

Коли кількість подій, які можуть відбутися в одній ситуації, велика, неможливо розглядати кожну подію окремо як подібну на прикладі кинутих кісток. Отже, вся сукупність подій узагальнена шляхом введення поняття випадкової величини. Це змінна, яка може припускати значення різних подій у конкретній ситуації (або в просторі вибірки). Це дає математичний сенс простим подіям у ситуації та математичним способом вирішення події. Точніше, випадкова величина - це функція реальної величини над елементами вибіркового простору. Випадкові величини можуть бути або дискретними, або безперервними. Зазвичай вони позначаються великими літерами англійського алфавіту.

Функція розподілу ймовірностей (або просто розподіл ймовірності) - це функція, яка призначає значення ймовірності для кожної події; тобто воно забезпечує відношення до ймовірностей для значень, які може приймати випадкова величина. Функція розподілу ймовірностей визначається для дискретних випадкових величин.

Функція щільності ймовірності є еквівалентом функції розподілу ймовірностей для безперервних випадкових величин, дає ймовірність певній випадковій змінній прийняти певне значення.

Якщо Х - дискретна випадкова величина, функція задана як f(х) = П(Х = х) для кожного х в межах Х називається функцією розподілу ймовірності. Функція може слугувати функцією розподілу ймовірностей тоді і лише тоді, коли функція задовольняє наступним умовам.

1. f(х) ≥ 0

2. ∑ f(х) = 1

Функція f(х), що визначається набором дійсних чисел, називається функцією щільності ймовірності безперервної випадкової величини Х, якщо і тільки якщо,

П(а ≤ х ≤ б) = _а∫^б f(х) dx для будь-яких реальних констант а і б.

Функція щільності ймовірності повинна задовольняти і наступним умовам.

1. f(х) ≥ 0 для всіх х: -∞ < х < +∞

2. _-∞∫^+∞ f(х) dx = 1

Як функція розподілу ймовірностей, так і функція щільності ймовірності використовуються для представлення розподілу ймовірностей по простору вибірки. Зазвичай це називається розподілом ймовірностей.

Для статистичного моделювання виведені стандартні функції щільності ймовірності та функції розподілу ймовірностей. Нормальний розподіл і звичайний нормальний розподіл є прикладами безперервного розподілу ймовірностей. Біноміальний розподіл та розподіл Пуассона - приклади дискретних розподілів ймовірностей.

Яка різниця між розподілом ймовірності та функцією щільності ймовірності?

• Функція розподілу ймовірностей та функція щільності ймовірності - це функції, визначені на вибірковому просторі, для призначення кожного відповідного значення ймовірності.

• Функції розподілу ймовірностей визначаються для дискретних випадкових величин, тоді як функції щільності ймовірності визначені для безперервних випадкових величин.

• Розподіл значень ймовірності (тобто розподіли ймовірностей) найкраще зображують функцією щільності ймовірності та функцією розподілу ймовірностей.

• Функція розподілу ймовірностей може бути представлена ​​у вигляді значень у таблиці, але це неможливо для функції щільності ймовірності, оскільки змінна неперервна.

• При побудові графіку функція розподілу ймовірностей дає графік смуги, тоді як функція щільності ймовірності дає криву.

• Висота / довжина барів функції розподілу ймовірностей повинні дорівнювати 1, а площа під кривою функції щільності ймовірності повинна дорівнювати 1.

• В обох випадках усі значення функції повинні бути негативними.