Різниця між випадковими змінними та розподілом ймовірностей

Випадкові змінні та розподіл ймовірностей

Статистичні експерименти - це випадкові експерименти, які можна повторювати нескінченно довго, з відомим набором результатів. І випадкові змінні, і розподіл ймовірностей пов'язані з такими експериментами. Для кожної випадкової величини існує асоційований розподіл ймовірностей, визначений функцією, званою функцією кумулятивного розподілу.

Що таке випадкова величина?

Випадкова величина - це функція, яка присвоює числові значення результатам статистичного експерименту. Іншими словами, це функція, визначена з простору вибірки статистичного експерименту в набір реальних чисел.

Наприклад, розглянемо випадковий експеримент перевернути монету двічі. Можливі результати: HH, HT, TH і TT (H - голови, T - казки). Нехай змінна X - кількість голів, що спостерігається в експерименті. Тоді X може приймати значення 0, 1 або 2, і це випадкова величина. Тут випадкова величина X буде відображати множину S = HH, HT, TH, TT (пробний простір) на множину 0, 1, 2 таким чином, що HH відображається на 2, HT і TH відображаються в 1, а TT відображається в 0. У позначенні функції це може бути записано як X: S → R, де X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 і X ( TT) = 0.

Існує два типи випадкових змінних: дискретна та неперервна, відповідно кількість можливих значень, яку, за випадковою змінною, можна вважати, є щонайбільше лічильною чи ні. У попередньому прикладі випадкова величина X - це дискретна випадкова величина, оскільки 0, 1, 2 є кінцевою множиною. Тепер розглянемо статистичний експеримент пошуку ваг учнів у класі. Нехай Y - випадкова величина, визначена як вага учня. Y може приймати будь-яке реальне значення протягом певного інтервалу. Отже, Y - суцільна випадкова величина.

Що таке розподіл ймовірностей?

Розподіл ймовірностей - це функція, яка описує ймовірність випадкової величини, яка приймає певні значення.

Функція, яка називається функцією накопичувального розподілу (F), може бути визначена з набору дійсних чисел до множини дійсних чисел як F (x) = P (X ≤ x) (ймовірність X буде меншою або дорівнює x) для кожен можливий результат x. Тепер функцію кумулятивного розподілу X у першому прикладі можна записати як F (a) = 0, якщо a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

У випадку дискретних випадкових величин функцію можна визначити з набору можливих результатів до набору реальних чисел таким чином, що ƒ (x) = P (X = x) (ймовірність X дорівнює x) для кожного можливого результату x. Ця особлива функція ƒ називається функцією маси ймовірності випадкової величини X. Тепер функцію маси ймовірностей X у першому конкретному прикладі можна записати як ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, а ƒ (x) = 0 в іншому випадку. Таким чином, функція маси ймовірностей разом із функцією кумулятивного розподілу описує розподіл ймовірностей X у першому прикладі.

У випадку безперервних випадкових величин функцію, яку називають функцією щільності ймовірності (ƒ), можна визначити як ƒ (x) = dF (x) / dx для кожного x, де F - функція кумулятивного розподілу безперервної випадкової величини. Неважко помітити, що ця функція задовольняє ∫ƒ (x) dx = 1. Функція густини ймовірностей разом із функцією кумулятивного розподілу описує розподіл ймовірності безперервної випадкової величини. Наприклад, нормальний розподіл (який є безперервним розподілом ймовірності) описується за допомогою функції щільності ймовірності ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).