Різниця між інтегралом Рімана і інтегралом Лебега

Ріманн Інтеграл проти Лебега Інтеграл

Інтеграція є головною темою обчислення. У більш широкому розумінні інтеграцію можна розглядати як зворотний процес диференціації. При моделюванні проблем у реальному світі легко писати вирази, що містять похідні. У такій ситуації для пошуку функції, яка дала конкретну похідну, необхідна операція інтеграції.

Інша інтеграція - це процес, який підсумовує добуток функції ƒ (x) та δx, де δx має тенденцію до певної межі. Тому ми використовуємо символ інтеграції як ∫. Символ ∫ - це насправді те, що ми отримуємо, розтягуючи букву s для позначення суми.

Ріман Інтеграл

Розглянемо функцію y = ƒ (x). Інтеграл y між а і б, де а і б належать до набору x, записується як _б∫^аƒ (x) dx = [Ж(х)]_а→б = Ж(б) - Ж(а). Це називається певним інтегралом однозначної і безперервної функції y = ƒ (x) між a і b. Це дає область під кривою між а і б. Це також називається інтегралом Рімана. Інтеграл Рімана був створений Бернхардом Ріманом. Інтеграл Рімана безперервної функції заснований на мірі Йордана, тому він також визначається як межа ріманових сум функції. Для реальної значущої функції, визначеної на замкненому інтервалі, інтеграл Рімана функції відносно розділу x₁, х₂,…, Х_н визначені на інтервалі [a, b] і t₁, т₂,…, Т_н, де х_i ≤ t_i ≤ x_{i + 1} для кожного i ε 1, 2,…, n сума Рімана визначається як Σ_{i = o до n-1} ƒ (t_i) (х_{i + 1} - х_i).

Lebesgue Integral

Lebesgue - це ще один тип інтеграла, який охоплює широкий спектр випадків, ніж інтеграл Рімана. Інтеграл лебеги був введений Генрі Лебеггом у 1902 р. Інтеграцію Легега можна розглядати як узагальнення інтеграції Рімана.

Чому нам потрібно вивчити ще один інтеграл?

Розглянемо характерну функцію ƒ_{A (x) = 0 if, x не ε A}^{1 якщо, x ε A} на множині А. Потім скінченна лінійна комбінація характеристичних функцій, яка визначається як Ж(x) = Σ a_iƒЕ_i(x) називається простою функцією, якщо Е_i вимірюється для кожного i. Інтеграл Лебега Ж(х) понад Е позначається через _Е∫ ƒ (x) dx. Функція Ж(x) не є інтегратором Рімана. Тому інтеграл Лебега є перефразированим інтегралом Рімана, який має деякі обмеження щодо функцій, які потрібно інтегрувати.