Різниця між арифметичними та геометричними рядами

Арифметика проти геометричних рядів
 

Математичне визначення ряду тісно пов'язане з послідовностями. Послідовність - це впорядкований набір чисел і може бути як кінцевим, так і нескінченним набором. Послідовність чисел з різницею між двома елементами, які є постійними, відома як арифметична прогресія. Послідовність із постійним коефіцієнтом двох послідовних чисел відома як геометрична прогресія. Ці прогресії можуть бути як кінцевими, так і нескінченними, і якщо кінцеві, кількість термінів підраховується, інакше незлічується.

Взагалі суму елементів прогресії можна визначити як ряд. Сума арифметичної прогресії відома як арифметичний ряд. Аналогічно, сума геометричної прогресії відома як геометричний ряд.

Більше про Арифметичні серії

У арифметичному ряду послідовні доданки мають постійну різницю.

S_н = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ +⋯ + a_н = ∑^н_{i = 1} а_i ; де₂ = а₁ + д, а₃ = а₂ + d тощо.

Ця різниця d відома як загальна різниця, а n^го термін задається а_н = а₁+ (n-1) d; де₁ є першим терміном.

Поведінка серії змінюється на основі загальної різниці d. Якщо спільна різниця є позитивною, прогресія має тенденцію до нескінченності, а якщо загальна різниця - негативна, вона прагне до негативної нескінченності.

Суму рядів можна отримати за такою простою формулою, яку вперше розробив індійський астроном і математик Арябхата.

S_н = n / 2 (a₁+ а_н ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

Сума S_н може бути або кінцевим, або нескінченним, виходячи з кількості термінів.

Більше про Геометричні серії

Геометричний ряд - це ряд із коефіцієнтом постійної послідовних чисел. Це Важливий ряд, виявлений при дослідженні серії, через властивості, якими він володіє.

S_н = ар + ар² + ар³ +⋯ + ар^н = ∑^н_{i = 1} арⁱ

На основі співвідношення r поведінку ряду можна класифікувати наступним чином. r = | r | ≥1 ряд розходяться; r≤1 серія сходиться. Також, якщо r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

Суму геометричного ряду можна обчислити, використовуючи наступну формулу. S_н = a (1-r^н) / (1-р); де a - початковий член, а r - відношення. Якщо відношення r≤1, ряд сходиться. Для нескінченного ряду значення збіжності задається S_н= a / (1-r).

Геометрична серія має численні сфери застосування у галузі фізичних наук, інженерії та економіки

Яка різниця між арифметичними та геометричними рядами?

• Арифметичний ряд - це ряд з постійною різницею між двома суміжними членами.

• Геометричний ряд - це ряд з постійним коефіцієнтом між двома послідовними членами.

• Усі нескінченні арифметичні ряди завжди розходяться, але залежно від співвідношення геометричний ряд може бути або збіжним, або розбіжним.

• Геометричний ряд може мати коливання у значеннях; тобто числа змінюють свої знаки по черзі, але арифметичний ряд не може мати коливань.