Різниця між асоціативним та комутативним
Share
Асоціативний vs Комутативний
У нашому повсякденному житті нам доводиться використовувати цифри, коли нам потрібно щось виміряти. У продуктовому магазині, на АЗС і навіть на кухні нам потрібно додати, відняти і помножити дві і більше кількості. З нашої практики ми виконуємо ці розрахунки досить без зусиль. Ми ніколи не помічаємо і не ставимо під сумнів, чому ми робимо ці операції саме таким чином. Або чому ці розрахунки неможливо зробити по-іншому. Відповідь прихована в тому, як ці операції визначені в математичному полі алгебри.
В алгебрі операція, що включає дві величини (наприклад, додавання), визначається як двійкова операція. Точніше, це операція між двома елементами з набору, і ці елементи називаються "операндом". Багато операцій з математики, включаючи згадані раніше арифметичні операції та ті, що зустрічаються в теорії множин, лінійній алгебрі та математичній логіці, можна визначити як двійкові операції.
Існує набір керуючих правил, що стосуються конкретної бінарної операції. Асоціативні та комутативні властивості - дві основні властивості двійкових операцій.
Більше про комунальну власність
Припустимо, деяка двійкова операція, позначена символом ⊗, виконується на елементах А і Б. Якщо порядок операндів не впливає на результат операції, тоді, як кажуть, операція є комутативною. тобто, якщо А ⊗ Б = Б ⊗ А то операція комутативна.
Додавання та множення арифметичних операцій є комутативним. Порядок чисел, доданих або помножених разом, не впливає на остаточну відповідь:
А + Б = Б + А ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
А × Б = Б × А ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Але у випадку поділу зміна порядку дає зворотну сторону іншому, а при відніманні зміна дає негатив іншому. Тому,
А - Б ≠ Б - А ⇒ 4 - 5 = -1 і 5 - 4 = 1
А ÷ Б ≠ Б ÷ А ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 і 5 ÷ 4 = 1,25 [у цьому випадку А,Б ≠ 1 і 0]
Насправді, віднімання, як кажуть, є антикомутативним; де А - Б = - (Б - А).
Також логічні сполучники, сполучник, диз'юнкція, імплікація та еквівалентність також є комутативними. Істинні функції також є комутативними. Установлені операції об'єднання та перетину є комутативними. Додавання та скалярний добуток векторів також є комутативними.
Але векторне віднімання та векторний продукт не є комутативним (векторний добуток двох векторів є антикомутативним). Додавання матриці є комутативним, але множення і віднімання не є комутативним. (Множення двох матриць може бути комутативним в особливих випадках, таких як множення матриці на її зворотну чи матрицю тотожності; але, безумовно, матриці не є комутаційними, якщо матриці не однакового розміру)
Більше про асоціативну власність
Бінарну операцію вважають асоціативною, якщо порядок виконання не впливає на результат при наявності двох або більше подій оператора. Розглянемо елементи А, В і С і двійкова операція ⊗. Кажуть, що операція be асоціативна, якщо
А ⊗ Б ⊗ С = А ⊗ (Б ⊗ С) = (А ⊗ Б) ⊗ С
З основних арифметичних функцій лише додавання та множення є асоціативними.
А + (Б + С) = (А + Б) + С ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
А × (Б × С) = (А × Б) × С ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Віднімання та ділення не асоціативні;
А - (Б - С) ≠ (А - Б) - С ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 і (5 - 4) - 3 = -2
А ÷ (Б ÷ С) ≠ (А ÷ Б) ÷ С ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 і (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Роз'єднання, сполучення та еквівалентність логічних сполучників є асоціативними, як і встановлені операції об'єднання та перетину. Матриця та векторне додавання асоціативні. Скалярний добуток векторів асоціативний, але векторний продукт - ні. Матричне множення асоціативне лише за особливих обставин.
Яка різниця між комутативною та асоціативною властивістю?
• І асоціативна властивість, і комутативна властивість є особливими властивостями двійкових операцій, а деякі їх задовольняють, а деякі не відповідають.
• Ці властивості можна побачити у багатьох формах алгебраїчних операцій та інших бінарних операцій з математики, таких як перетин та об'єднання в теорії множин або логічні сполучники.
• Різниця між комутативною та асоціативною полягає в тому, що комутативна властивість говорить про те, що порядок елементів не змінює кінцевий результат, тоді як асоціативна властивість констатує, що порядок, в якому виконується операція, не впливає на остаточну відповідь.
